9的倍数就是用9乘以一个整数或正整数得到的数。按照小学数学中最常见的约定，9的正倍数是：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90……。它们没有最大的一个，因为正整数可以不断增加，9乘出的结果也会一直增加。

9的倍数到底有哪些？

可以把9依次乘以1、2、3、4……，所得的积就是9的倍数：

9的前20个正倍数

乘法算式	结果	乘法算式	结果
9×1	9	9×11	99
9×2	18	9×12	108
9×3	27	9×13	117
9×4	36	9×14	126
9×5	45	9×15	135
9×6	54	9×16	144
9×7	63	9×17	153
9×8	72	9×18	162
9×9	81	9×19	171
9×10	90	9×20	180

因此，9的倍数可以写成一个连续的数列：

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144、153、162、171、180……

如果题目要求列出某个范围内的倍数，只需从这列数中选出符合范围的结果。例如，100以内的9的倍数是：

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。

如果题目要求100到200之间的9的倍数，则从9的乘法表中继续查找，可以得到：

108、117、126、135、144、153、162、171、180、189、198。

为什么9的倍数会按照这个规律排列？

相邻两个9的倍数之间总是相差9。例如：

• 18－9＝9；
• 27－18＝9；
• 36－27＝9；
• 45－36＝9。

这是因为相邻的乘数相差1。比如9×4和9×5相差：

9×5－9×4＝9×（5－4）＝9。

所以，只要知道一个9的倍数，就可以通过连续加9得到下一个倍数。已知27是9的倍数，再加9得到36，36再加9得到45。看到结果每次增加9，就说明它们正在按照9的倍数顺序排列。

还可以观察每个结果的个位数字。9、18、27、36、45、54、63、72、81、90的个位数字依次是9、8、7、6、5、4、3、2、1、0；接下来又从9开始循环。这种个位变化可以帮助检查列出的数字是否漏项，但判断较大的数时，不能只看个位。

知道这个规律后，怎样快速判断一个数是不是9的倍数？

判断一个较大的数是否能被9整除，可以使用各位数字之和的方法：把这个数的每一位数字相加，如果数字和是9的倍数，那么原数就是9的倍数；如果数字和不是9的倍数，原数就不是9的倍数。

1. 看到待判断的数，先把各个数位相加。
2. 再判断所得的和是否为9、18、27、36等9的倍数。
3. 如果数字和是9的倍数，确认原数能被9整除；否则不能。

例如，判断729是不是9的倍数：

7＋2＋9＝18，18是9的倍数，所以729也是9的倍数。实际计算可以验证：729÷9＝81。

再判断1,458：

1＋4＋5＋8＝18，18是9的倍数，所以1,458是9的倍数。

判断572：

5＋7＋2＝14，14不是9的倍数，因此572不是9的倍数。

这个方法适用于任意位数的整数。数字越长，直接做除法越麻烦，先计算各位数字之和通常更快。如果数字和仍然较大，还可以继续相加。例如，判断98,235：

9＋8＋2＋3＋5＝27，27是9的倍数，因此98,235也是9的倍数。

9的倍数和3的倍数有什么关系？

每个9的倍数一定也是3的倍数，因为9本身就是3的倍数。例如9、18、27、36既属于9的倍数，也属于3的倍数。

但3的倍数不一定是9的倍数。例如12、15、21都是3的倍数，却不是9的倍数。因此，判断一个数是不是9的倍数，不能只看它能不能被3整除，还要看它是否能被9整除，或者使用各位数字之和判断。

两者的数字和规律也有区别：

• 各位数字之和是3的倍数，原数就是3的倍数；
• 各位数字之和是9的倍数，原数才是9的倍数。

例如，21的各位数字之和是2＋1＝3，所以21是3的倍数，但3不是9的倍数，21也就不是9的倍数。36的各位数字之和是3＋6＝9，所以36既是3的倍数，也是9的倍数。

计算题中最容易出现哪些混淆？

第一，不能把9的因数当成9的倍数。9的因数是能够整除9的数，常见的正因数有1、3、9；9的倍数则是9乘以正整数得到的数，如9、18、27、36。因数通常是有限的，倍数通常是无限的。

第二，不要以为只有列出的几个数才是9的倍数。“9、18、27……”只是前面的一部分，后面还有198、207、216等无穷多个数。

第三，注意题目是否限定了范围。题目问“100以内的9的倍数”时，不能把108、117等超过100的数列入答案；题目问“100到200之间”时，则应从108开始，一直列到198。

第四，注意0的约定。按照较宽泛的整数定义，9×0＝0，因此0也是9的倍数；但小学题目常把“9的倍数”默认写成9×1、9×2、9×3……，这时通常从9开始列。如果题目明确要求“非负整数倍数”，应把0写入答案；如果要求“正倍数”，则不写0。

总的来说，9的正倍数就是9×1、9×2、9×3……得到的所有数，开头为9、18、27、36、45……。要列出指定范围内的结果，可以连续加9；要判断一个大数是否属于9的倍数，则计算各位数字之和，结果为9的倍数即可确认。

di6tnu62pchsqbgcf6n5k4kmrgin7ex